Berechnen Sie die Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele. Regeln zur Berechnung von Derivaten

Da Sie hierher gekommen sind, haben Sie diese Formel wahrscheinlich bereits im Lehrbuch gesehen

und mache ein Gesicht wie dieses:

Freund, mach dir keine Sorgen! Tatsächlich ist alles einfach unverschämt. Du wirst bestimmt alles verstehen. Nur eine Bitte: Lesen Sie den Artikel langsam Versuchen Sie, jeden Schritt zu verstehen. Ich habe so einfach und klar wie möglich geschrieben, aber Sie müssen die Idee trotzdem verstehen. Und lösen Sie unbedingt die Aufgaben aus dem Artikel.

Was ist eine komplexe Funktion?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine andere Wohnung und packen deshalb Dinge in große Kartons. Angenommen, Sie müssen einige kleine Gegenstände sammeln, beispielsweise Schreibmaterialien für die Schule. Wenn man sie einfach in eine riesige Kiste wirft, gehen sie unter anderem verloren. Um dies zu vermeiden, packt man sie beispielsweise zunächst in eine Tüte, die man dann in einen großen Karton steckt und diesen anschließend verschließt. Dieser „komplexe“ Prozess wird im folgenden Diagramm dargestellt:

Es scheint, was hat Mathematik damit zu tun? Ja, obwohl eine komplexe Funktion auf GENAU DIE GLEICHE Weise gebildet wird! Nur „packen“ wir nicht Notizbücher und Stifte, sondern \(x\), während die „Pakete“ und „Boxen“ unterschiedlich sind.

Nehmen wir zum Beispiel x und „packen“ es in eine Funktion:

Als Ergebnis erhalten wir natürlich \(\cos⁡x\). Das ist unsere „Tasche voller Sachen“. Nun packen wir es in eine „Box“ – packen wir es zum Beispiel in eine kubische Funktion.

Was wird am Ende passieren? Ja, das ist richtig, es wird eine „Tüte mit Dingen in einer Kiste“ geben, das heißt „Kosinus von X kubisch“.

Das resultierende Design ist eine komplexe Funktion. Darin unterscheidet es sich vom einfachen MEHRERE „Einflüsse“ (Pakete) werden nacheinander auf ein X angewendet und es stellt sich heraus, als ob „Funktion aus Funktion“ – „Verpackung in der Verpackung“ wäre.

Im Schulunterricht gibt es nur sehr wenige Arten dieser „Pakete“, nur vier:

„Packen“ wir nun X zunächst in eine Exponentialfunktion zur Basis 7 und dann in eine trigonometrische Funktion. Wir bekommen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Jetzt „packen“ wir x zweimal in trigonometrische Funktionen, zuerst in und dann in:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Ganz einfach, oder?

Schreiben Sie nun die Funktionen selbst, wobei x:
- Zuerst wird es in einen Kosinus und dann in eine Exponentialfunktion mit der Basis \(3\) „gepackt“;
- zuerst zur fünften Potenz und dann zur Tangente;
- zuerst den Logarithmus zur Basis \(4\) , dann hoch \(-2\).

Die Antworten auf diese Aufgabe finden Sie am Ende des Artikels.

Können wir X nicht zwei-, sondern dreimal „packen“? Kein Problem! Und viermal und fünfmal und fünfundzwanzigmal. Hier ist zum Beispiel eine Funktion, in der x \(4\) mal „gepackt“ wird:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Aber solche Formeln werden in der Schulpraxis nicht zu finden sein (die Schüler haben mehr Glück – ihre Formeln sind möglicherweise komplizierter☺).

„Auspacken“ einer komplexen Funktion

Schauen Sie sich die vorherige Funktion noch einmal an. Können Sie die Reihenfolge beim „Verpacken“ herausfinden? In was X zuerst gestopft wurde, was dann und so weiter bis zum Schluss. Das heißt, welche Funktion ist in welcher verschachtelt? Nehmen Sie ein Blatt Papier und schreiben Sie auf, was Sie denken. Sie können dies mit einer Kette mit Pfeilen tun, wie wir oben geschrieben haben, oder auf andere Weise.

Nun lautet die richtige Antwort: Zuerst wurde x in die \(4\)-te Potenz „gepackt“, dann wurde das Ergebnis in einen Sinus gepackt, dieser wiederum wurde in den Logarithmus zur Basis \(2\) gestellt. , und am Ende wurde diese ganze Konstruktion in einen Power Fives gestopft.

Das heißt, Sie müssen die Sequenz IN UMGEKEHRTER REIHENFOLGE abwickeln. Und hier ist ein Tipp, wie es einfacher geht: Schauen Sie sich sofort das X an – Sie sollten davon tanzen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Hier ist zum Beispiel die folgende Funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Wir schauen uns X an – was passiert zuerst damit? Von ihm übernommen. Und dann? Der Tangens des Ergebnisses wird genommen. Die Reihenfolge wird dieselbe sein:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ein weiteres Beispiel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Lassen Sie uns analysieren – zuerst haben wir X gewürfelt und dann den Kosinus des Ergebnisses genommen. Das bedeutet, dass die Folge wie folgt lautet: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Achtung, die Funktion scheint der allerersten zu ähneln (wo es Bilder gibt). Aber das ist eine ganz andere Funktion: Hier im Würfel ist x (also \(\cos⁡((x·x·x)))\), und dort im Würfel ist der Kosinus \(x\) ( das heißt, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dieser Unterschied ergibt sich aus unterschiedlichen „Packungs“-Sequenzen.

Das letzte Beispiel (mit wichtigen Informationen darin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Es ist klar, dass sie hier zuerst arithmetische Operationen mit x durchgeführt haben und dann den Sinus des Ergebnisses genommen haben: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Und das ist ein wichtiger Punkt: Obwohl arithmetische Operationen an sich keine Funktionen sind, fungieren sie hier auch als eine Möglichkeit zum „Packen“. Lassen Sie uns etwas tiefer in diese Feinheit eintauchen.

Wie ich oben sagte, wird x in einfachen Funktionen einmal und in komplexen Funktionen zwei oder mehr „gepackt“. Darüber hinaus ist jede Kombination einfacher Funktionen (d. h. deren Summe, Differenz, Multiplikation oder Division) ebenfalls eine einfache Funktion. Beispielsweise ist \(x^7\) eine einfache Funktion, ebenso wie \(ctg x\). Das bedeutet, dass alle ihre Kombinationen einfache Funktionen sind:

\(x^7+ ctg x\) - einfach,
\(x^7· cot x\) – einfach,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – einfach usw.

Wenn jedoch eine weitere Funktion auf eine solche Kombination angewendet wird, wird sie zu einer komplexen Funktion, da es zwei „Pakete“ gibt. Siehe Zeichnung:

Okay, machen Sie jetzt weiter. Schreiben Sie die Reihenfolge der „Wrapping“-Funktionen:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Die Antworten finden Sie noch einmal am Ende des Artikels.

Interne und externe Funktionen

Warum müssen wir die Funktionsverschachtelung verstehen? Was bringt uns das? Tatsache ist, dass wir ohne eine solche Analyse nicht zuverlässig Ableitungen der oben diskutierten Funktionen finden können.

Und um weiterzumachen, brauchen wir zwei weitere Konzepte: interne und externe Funktionen. Das ist eine ganz einfache Sache, außerdem haben wir sie oben bereits analysiert: Wenn wir uns an unsere Analogie ganz am Anfang erinnern, dann ist die interne Funktion ein „Paket“ und die externe Funktion eine „Box“. Diese. Was X zuerst „einschließt“, ist eine interne Funktion, und was die interne Funktion „einschließt“, ist bereits extern. Nun, es ist klar, warum – sie ist draußen, das heißt äußerlich.

In diesem Beispiel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), die Funktion \(\log_2⁡x\) ist intern und
- extern.

Und dabei gilt: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ist intern und
- extern.

Schließen Sie die letzte Übung zur Analyse komplexer Funktionen ab und kommen wir endlich zu dem, wofür wir alle angefangen haben – wir werden Ableitungen komplexer Funktionen finden:

Füllen Sie die Lücken in der Tabelle aus:

Ableitung einer komplexen Funktion

Bravo für uns, wir sind endlich beim „Chef“ dieses Themas angelangt – nämlich der Ableitung einer komplexen Funktion und insbesondere bei dieser sehr schrecklichen Formel vom Anfang des Artikels.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Diese Formel liest sich so:

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach einer konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

Und schauen Sie sich sofort das Parsing-Diagramm „Wort für Wort“ an, um zu verstehen, was was ist:

Ich hoffe, dass die Begriffe „Derivat“ und „Produkt“ keine Schwierigkeiten bereiten. „Komplexe Funktion“ – wir haben es bereits geklärt. Der Haken liegt in der „Ableitung einer externen Funktion nach einer konstanten internen Funktion“. Was ist das?

Antwort: Dies ist die übliche Ableitung einer externen Funktion, bei der sich nur die externe Funktion ändert und die interne gleich bleibt. Immer noch nicht klar? Okay, verwenden wir ein Beispiel.

Lassen Sie uns eine Funktion \(y=\sin⁡(x^3)\) haben. Es ist klar, dass die interne Funktion hier \(x^3\) und die externe ist
. Finden wir nun die Ableitung des Äußeren nach dem konstanten Inneren.

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Dabei handelt es sich um relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen schon seit langem berechnet und tabelliert werden. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Potenz mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	−Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Selbstverständlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− Sünde X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eine der komplexesten Formeln – ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es anhand konkreter Beispiele zu studieren.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es klappt F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich machen? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das klarer? Das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus eine Bruchzahl sein. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne in Tests und Prüfungen an.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten, waren Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern Sie müssen lediglich die Tabelle von verwenden Ableitungen und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Primzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen in Komponenten und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Als nächstes finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient – ​​in den Differenzierungsregeln. Die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln werden nach den ersten beiden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d. h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir setzen diese Werte in die Summe der Ableitungen ein und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung einer Summe, bei der der zweite Term einen konstanten Faktor hat; er lässt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung entnehmen:

Wenn dennoch Fragen auftauchen, woher etwas kommt, werden diese in der Regel geklärt, nachdem man sich mit der Ableitungstabelle und den einfachsten Differenzierungsregeln vertraut gemacht hat. Wir machen gerade mit ihnen weiter.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer gleich Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „X“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, um sich lange daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nichtquadratwurzeln in Potenzen umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen nach der Potenz -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Ableitung des Sinus
7. Ableitung des Kosinus
8. Ableitung der Tangente
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des Arcuskotangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung einer Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung einer Summe oder Differenz
2. Derivat des Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1.Wenn das funktioniert

an einem Punkt differenzierbar sind, dann sind die Funktionen am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung einer algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um einen konstanten Term unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen gleich, d.h.

Regel 2.Wenn das funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folgerung 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Folgerung 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn das funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbaru/v , und

diese. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat von ist der ehemalige Zähler.

Wo kann man auf anderen Seiten nach Dingen suchen?

Bei der Bestimmung der Ableitung eines Produkts und eines Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in einer Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Das typischer Fehler, was in der Anfangsphase des Studiums von Derivaten auftritt, aber wenn der durchschnittliche Student mehrere ein- und zweiteilige Beispiele löst, macht er diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie bei der Differenzierung eines Produkts oder Quotienten einen Term haben u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (dieser Fall wird in Beispiel 10 besprochen).

Andere häufiger Fehler- mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion ist ein eigener Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Unterwegs kommt man nicht ohne die Transformation von Ausdrücken aus. Dazu müssen Sie ggf. das Handbuch in einem neuen Fenster öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann nehmen Sie an der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ teil.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – So finden Sie die Ableitung

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir definieren die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt ein Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen mit der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall hat der zweite Term in jeder Summe ein Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten folgende Ableitungswerte:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Und Sie können die Lösung des Ableitungsproblems weiter überprüfen.

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung des Quotienten an: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des ist Nenner, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Haufen von Wurzeln und Potenzen gibt, wie zum Beispiel: , dann willkommen im Unterricht „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, dann erfahren Sie, wie die Funktion aussieht , dann eine Lektion für Sie „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Unter Verwendung der Regel zur Differenzierung des Produkts und des Tabellenwerts der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Sie können die Lösung des Ableitungsproblems unter überprüfen Online-Derivaterechner .

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir einen Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Unter Verwendung der Regel der Differenzierung von Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem tabellierten Wert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um einen Bruch im Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Hinter kurzfristig Wir helfen Ihnen bei der Lösung der schwierigsten Tests und Probleme, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie findet man die Ableitung?, in dem wir die einfachsten Ableitungen untersuchten und uns außerdem mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut machten. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Lass es uns herausfinden. Achten wir zunächst auf den Eintrag. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist, bildlich gesprochen, in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die informellen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „X“, sondern einen ganzen Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir stellen auch fest, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass der Sinus nicht „in Stücke gerissen“ werden kann:

In diesem Beispiel wird aus meinen Erläuterungen bereits intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint klar zu sein, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: Daher ist das Polynom eine interne Funktion:

Zweitens muss gefunden werden, also wird Sinus eine externe Funktion sein:

Nachdem wir AUSVERKAUFT Bei internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen anzuwenden.

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus dem Unterricht Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln sind auch anwendbar, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht folgendermaßen aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion wie folgt:

Ich betone noch einmal, dass sich unsere interne Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der externen Funktion bilden:

Jetzt müssen Sie nur noch eine sehr einfache Ableitung der internen Funktion finden und das Ergebnis ein wenig optimieren:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Um Ihr Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo die externe und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe der drei Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an:

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch aufschreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn Sie umständliche lange Ableitungen erhalten, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine lustige Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten verwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel:

Wir ermitteln die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten zurück:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir uns Fälle angesehen, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen wie bei Nistpuppen 3 oder sogar 4-5 Funktionen gleichzeitig ineinander verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion ist also wie folgt:

Unter dem Strich haben wir wieder eine komplexe Funktion! Aber es ist schon einfacher. Es ist leicht zu überprüfen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Gemäß der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion müssen Sie zunächst die Ableitung der Potenz bilden.