સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ પાપ સમીકરણો. સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

વિડિયો કોર્સ "A મેળવો" માં ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા 60-65 પોઈન્ટ્સ સાથે સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે જરૂરી તમામ વિષયોનો સમાવેશ થાય છે. ગણિતમાં પ્રોફાઈલ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાના 1-13ના સંપૂર્ણપણે તમામ કાર્યો. ગણિતમાં મૂળભૂત યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટે પણ યોગ્ય. જો તમે 90-100 પોઈન્ટ્સ સાથે યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માંગતા હો, તો તમારે 30 મિનિટમાં અને ભૂલો વિના ભાગ 1 હલ કરવાની જરૂર છે!

ગ્રેડ 10-11 માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે તૈયારીનો કોર્સ, તેમજ શિક્ષકો માટે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ 1 (પ્રથમ 12 સમસ્યાઓ) અને સમસ્યા 13 (ત્રિકોણમિતિ) ઉકેલવા માટે તમારે જે બધું જોઈએ છે. અને આ યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં 70 થી વધુ પોઈન્ટ છે, અને ન તો 100-પોઈન્ટનો વિદ્યાર્થી કે માનવતાનો વિદ્યાર્થી તેમના વિના કરી શકે નહીં.

બધા જરૂરી સિદ્ધાંત. ઝડપી રીતોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ઉકેલો, મુશ્કેલીઓ અને રહસ્યો. FIPI ટાસ્ક બેંકના ભાગ 1 ના તમામ વર્તમાન કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. અભ્યાસક્રમ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2018 ની આવશ્યકતાઓનું સંપૂર્ણપણે પાલન કરે છે.

કોર્સમાં 5 મોટા વિષયો છે, દરેક 2.5 કલાક. દરેક વિષય શરૂઆતથી, સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવ્યો છે.

સેંકડો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યો. શબ્દ સમસ્યાઓ અને સંભાવના સિદ્ધાંત. સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સરળ અને યાદ રાખવામાં સરળ અલ્ગોરિધમ્સ. ભૂમિતિ. સિદ્ધાંત, સંદર્ભ સામગ્રી, તમામ પ્રકારના યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોનું વિશ્લેષણ. સ્ટીરીઓમેટ્રી. મુશ્કેલ ઉકેલો, ઉપયોગી ચીટ શીટ્સ, અવકાશી કલ્પનાનો વિકાસ. શરૂઆતથી સમસ્યા સુધીની ત્રિકોણમિતિ 13. ક્રેમિંગને બદલે સમજણ. જટિલ ખ્યાલોની સ્પષ્ટ સમજૂતી. બીજગણિત. મૂળ, સત્તા અને લઘુગણક, કાર્ય અને વ્યુત્પન્ન. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના ભાગ 2 ની જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો આધાર.

તમે તમારી સમસ્યાનો વિગતવાર ઉકેલ ઓર્ડર કરી શકો છો!!!

ત્રિકોણમિતિ કાર્ય (`sin x, cos x, tan x` અથવા `ctg x`) ની નિશાની હેઠળ અજ્ઞાત ધરાવતી સમાનતાને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, અને તે તેમના સૂત્રો છે જેને આપણે આગળ વિચારીશું.

સૌથી સરળ સમીકરણો છે `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, જ્યાં `x` એ શોધવાનો ખૂણો છે, `a` એ કોઈપણ સંખ્યા છે. ચાલો તે દરેક માટે મૂળ સૂત્રો લખીએ.

1. સમીકરણ `sin x=a`.

`|a|>1` માટે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જ્યારે `|a| \leq 1` પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. સમીકરણ `cos x=a`

`

જ્યારે `|a| \leq 1` પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

આલેખમાં સાઈન અને કોસાઈન માટે ખાસ કેસો.

3. સમીકરણ `tg x=a`

`a` ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો ધરાવે છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. સમીકરણ `ctg x=a`

`a` ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો પણ ધરાવે છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

કોષ્ટકમાં ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળ માટેના સૂત્રો

સાઈન માટે:
કોસાઇન માટે:
સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે:
વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:

• તેને સરળમાં રૂપાંતરિત કરવાની સહાયથી;
• ઉપર લખેલ મૂળ સૂત્રો અને કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ સૌથી સરળ સમીકરણ ઉકેલો.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓ જોઈએ.

બીજગણિત પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિમાં ચલને બદલવાનો અને તેને સમાનતામાં બદલવાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

રિપ્લેસમેન્ટ કરો: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, પછી `2y^2-3y+1=0`,

આપણે મૂળ શોધીએ છીએ: `y_1=1, y_2=1/2`, જેમાંથી બે કેસ અનુસરે છે:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm આર્કોસ 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

જવાબ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ફેક્ટરાઇઝેશન.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `sin x+cos x=1`.

ઉકેલ. ચાલો સમાનતાની બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ: `sin x+cos x-1=0`. નો ઉપયોગ કરીને , અમે ડાબી બાજુનું રૂપાંતર અને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

જવાબ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

સજાતીય સમીકરણમાં ઘટાડો

પ્રથમ, તમારે આ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને બેમાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની જરૂર છે:

`a sin x+b cos x=0` (પ્રથમ ડિગ્રીનું સજાતીય સમીકરણ) અથવા `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય સમીકરણ).

પછી બંને ભાગોને `cos x \ne 0` દ્વારા વિભાજિત કરો - પ્રથમ કેસ માટે, અને `cos^2 x \ne 0` દ્વારા - બીજા માટે. અમે `tg x`: `a tg x+b=0` અને `a tg^2 x + b tg x +c =0` માટે સમીકરણો મેળવીએ છીએ, જેને જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

ઉકેલ. ચાલો જમણી બાજુ લખીએ `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

આ બીજી ડિગ્રીનું એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે, આપણે તેની ડાબી અને જમણી બાજુઓને `cos^2 x \ne 0` વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. ચાલો બદલીએ `tg x=t`, પરિણામે `t^2 + t - 2=0`. આ સમીકરણના મૂળ છે `t_1=-2` અને `t_2=1`. પછી:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

જવાબ આપો. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

અર્ધ ખૂણા પર ખસેડવું

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

ઉકેલ. ચાલો ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ, પરિણામે: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ઉપર વર્ણવેલ બીજગણિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

સહાયક કોણનો પરિચય

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણમાં `a sin x + b cos x =c`, જ્યાં a,b,c ગુણાંક છે અને x એ ચલ છે, બંને બાજુઓને `sqrt (a^2+b^2)` વડે વિભાજીત કરો:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

ડાબી બાજુના ગુણાંકમાં સાઈન અને કોસાઈનના ગુણધર્મો છે, એટલે કે તેમના ચોરસનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે અને તેમના મોડ્યુલ 1 કરતા વધારે નથી. ચાલો તેમને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીએ: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, પછી:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણ પર નજીકથી નજર કરીએ:

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `3 sin x+4 cos x=2`.

ઉકેલ. સમાનતાની બંને બાજુઓને `sqrt (3^2+4^2)` ​​વડે વિભાજીત કરીએ તો આપણને મળે છે:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

ચાલો `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` સૂચવીએ. ત્યારથી `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, તો પછી આપણે `\varphi=arcsin 4/5` ને સહાયક કોણ તરીકે લઈએ છીએ. પછી અમે ફોર્મમાં અમારી સમાનતા લખીએ છીએ:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

સાઈન માટેના ખૂણાઓના સરવાળા માટે સૂત્ર લાગુ કરીને, અમે અમારી સમાનતા નીચેના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n આર્ક્સીન 2/5-` `આર્કસિન 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x=(-1)^n આર્ક્સીન 2/5-` `આર્કસિન 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

આ અપૂર્ણાંકો સાથે સમાનતા છે જેના અંશ અને છેદ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવે છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

ઉકેલ. સમાનતાની જમણી બાજુને `(1+cos x)` વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો. પરિણામે આપણને મળે છે:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

છેદ શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણને `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` મળે છે.

ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. પછી `sin x=0` અથવા `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

આપેલ છે કે ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ઉકેલો છે `x=2\pi n, n \in Z` અને `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

ત્રિકોણમિતિ, અને ખાસ કરીને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો ઉપયોગ ભૂમિતિ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને એન્જિનિયરિંગના લગભગ તમામ ક્ષેત્રોમાં થાય છે. 10મા ધોરણમાં અભ્યાસ શરૂ થાય છે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે હંમેશા કાર્યો હોય છે, તેથી ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના તમામ સૂત્રો યાદ રાખવાનો પ્રયાસ કરો - તે ચોક્કસપણે તમારા માટે ઉપયોગી થશે!

જો કે, તમારે તેમને યાદ રાખવાની પણ જરૂર નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સારને સમજવું અને તેને પ્રાપ્ત કરવામાં સક્ષમ થવું. તે લાગે છે તેટલું મુશ્કેલ નથી. વિડીયો જોઈને જાતે જ જોઈ લો.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ટેલિફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા સાર્વજનિક વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી અધિકારીઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો સમીકરણો છે

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

સમીકરણ cos(x) = a

સમજૂતી અને તર્ક

1. સમીકરણના મૂળ cosx = a. જ્યારે | a | > 1 સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, ત્યારથી | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 અથવા એ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

ચાલો | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. અંતરાલ પર, કાર્ય y = cos x 1 થી -1 સુધી ઘટે છે. પરંતુ ઘટતું કાર્ય તેના દરેક મૂલ્યોને તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનના એક બિંદુએ જ લે છે, તેથી સમીકરણ cos x = a આ અંતરાલ પર માત્ર એક જ મૂળ ધરાવે છે, જે આર્કોસીનની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, બરાબર છે: x 1 = arccos a (અને આ રુટ cos x = A માટે).

કોસાઇન એક સમાન કાર્ય છે, તેથી અંતરાલ [-n; 0] સમીકરણ cos x = અને તેમાં માત્ર એક જ મૂળ છે - x 1 ની વિરુદ્ધની સંખ્યા, એટલે કે

x 2 = -arccos a.

આમ, અંતરાલ પર [-n; p] (લંબાઈ 2p) સમીકરણ cos x = a સાથે | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

ફંક્શન y = cos x 2n ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે, તેથી અન્ય તમામ મૂળ 2n (n € Z) દ્વારા મળેલા મૂળથી અલગ છે. આપણે cos x = a when સમીકરણના મૂળ માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ

x = ±arccos a + 2pp, n £Z.

1. સમીકરણ ઉકેલવાના ખાસ કિસ્સાઓ cosx = a.

cos x = a when સમીકરણના મૂળ માટે વિશેષ સંકેતો યાદ રાખવા માટે તે ઉપયોગી છે

a = 0, a = -1, a = 1, જે સંદર્ભ તરીકે એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી મેળવી શકાય છે.

કોસાઈન એકમ વર્તુળના અનુરૂપ બિંદુના એબ્સીસા સમાન હોવાથી, અમે તે cos x = 0 મેળવીએ છીએ જો અને માત્ર જો એકમ વર્તુળનો અનુરૂપ બિંદુ બિંદુ A અથવા બિંદુ B હોય.

તેવી જ રીતે, cos x = 1 જો અને માત્ર જો એકમ વર્તુળનો અનુરૂપ બિંદુ બિંદુ C હોય, તેથી,

x = 2πп, k € Z.

તેમજ cos x = -1 જો અને માત્ર જો એકમ વર્તુળનો અનુરૂપ બિંદુ બિંદુ D હોય, આમ x = n + 2n,

સમીકરણ sin(x) = a

સમજૂતી અને તર્ક

1. સમીકરણના મૂળ sinx = a. જ્યારે | a | > 1 સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, ત્યારથી | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 અથવા એ< -1 не пересекает график функции y = sinx).

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ છે: સમીકરણોને સરળમાં ઘટાડીને (ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને), નવા ચલો રજૂ કરવા અને ફેક્ટરિંગ. ચાલો ઉદાહરણો સાથે તેમના ઉપયોગને જોઈએ. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉકેલો લખવાના ફોર્મેટ પર ધ્યાન આપો.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટેની આવશ્યક સ્થિતિ એ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનું જ્ઞાન છે (કાર્ય 6 નો વિષય 13).

ઉદાહરણો.

1. સમીકરણો સૌથી સરળ સુધી ઘટાડ્યા.

1) સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

જવાબ:

2) સમીકરણના મૂળ શોધો

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, સેગમેન્ટથી સંબંધિત.

ઉકેલ:

જવાબ:

2. સમીકરણો જે ચતુર્ભુજ સુધી ઘટાડે છે.

1) સમીકરણ 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ: sin 2 x = 1 – cos 2 x સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

જવાબ:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

જવાબ:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

જવાબ:

3. સજાતીય સમીકરણો

1) સમીકરણ 2sinx – 3cosx = 0 ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો cosx = 0, પછી 2sinx = 0 અને sinx = 0 - એ હકીકત સાથેનો વિરોધાભાસ છે કે sin 2 x + cos 2 x = 1. આનો અર્થ છે cosx ≠ 0 અને આપણે સમીકરણને cosx વડે ભાગી શકીએ. અમને મળે છે

જવાબ:

2) સમીકરણ 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x ઉકેલો

ઉકેલ:

આપણે ફોર્મ્યુલા 1 = sin 2 x + cos 2 x અને sin 2x = 2 sinxcosx નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, આપણને મળે છે

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

ચાલો cosx = 0, પછી sin 2 x = 0 અને sinx = 0 – એ હકીકત સાથે વિરોધાભાસ છે કે sin 2 x + cos 2 x = 1.
આનો અર્થ છે cosx ≠ 0 અને આપણે સમીકરણને cos 2 x વડે ભાગી શકીએ છીએ . અમને મળે છે

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
ચાલો tgx = y સૂચવીએ
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

જવાબ: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. ફોર્મના સમીકરણો a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ:

જવાબ:

5. અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલાયેલા સમીકરણો.

1) sin2x – sinx = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

સમીકરણનું મૂળ f (એક્સ) = φ ( એક્સ) માત્ર નંબર 0 તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો આ તપાસીએ:

cos 0 = 0 + 1 - સમાનતા સાચી છે.

નંબર 0 એ આ સમીકરણનું એકમાત્ર મૂળ છે.

જવાબ: 0.